Rectangle d'aire maximale

Partie A

Étudier sur \(\mathbb{R}\)  le signe de \(P(x)= - 10x^2 - 40x + 120\) .

Partie B

On se place dans un plan muni d'un repère orthonormé. La courbe \(H\)  représentée sur le graphique ci-dessous est l'ensemble des points de l'hyperbole d'équation :  \(y = \dfrac{10x + 4}{x + 2}\)  avec \(x\)   appartenant à l'intervalle \([0~; 8]\) .

Pour toute abscisse \(x\)  dans l'intervalle \([0~; 8]\) , on construit le rectangle \(\text{ABDE}\) comme indiqué sur la figure. On donne les informations suivantes :

• \(\text A\)  et \(\text B\)  sont sur l'axe des abscisses ;
  
• \(\text A\)  est d'abscisse \(x\)  ;
  
• \(\text B\)  et \(\text D\)  ont pour abscisse \(8\)  ;
  
• \(\text E\)  appartient à la courbe \(H\)  ;
  
• \(\text D\)  et \(\text E\)  ont la même ordonnée.
  

L'objectif de ce problème est de déterminer la ou les valeurs éventuelles \(x\)  de l'intervalle \([0~; 8]\) correspondant à un rectangle \(\text{ABDE}\) d'aire maximale.

1. Déterminer l'aire du rectangle \(\text{ABDE}\) lorsque \(x = 0\) .

2. Déterminer l'aire du rectangle  \(\text{ABDE}\) lorsque \(x = 4\) .

On définit la fonction \(f\)  qui, à tout réel \(x\)  de \([0~; 8]\) , associe l'aire du rectangle \(\text{ABDE}\) . On admet que :  \(f(x) = \dfrac{-10x^2 + 76x + 32}{x + 2}\) .

3. Répondre au problème posé.